Exercitii pentru Relatiile logice din patratul opozitiilor si inferente imediate

Exerciţii

PĂTRATUL OPOZIŢIILOR

Rezumat

Propoziţiile care se opun pe diagonală – cele de tip A şi O, respectiv, E şi I – se numesc contradictorii şi diferă atât din punct de vedere cantitativ cât şi calitativ. 

A spune că sunt contradictorii înseamnă că:

-       dacă A este adevărată, atunci O este falsă

-       dacă A este falsă, atunci O este adevărată

-       dacă O este adevărată, atunci A este falsă

-       dacă O este falsă, atunci A este adevărată

respectiv,

-          dacă E este adevărată, atunci I este falsă

-          dacă E este falsă, atunci I este adevărată

-          dacă I este adevărată, atunci E este falsă

-          dacă I este falsă, atunci E este adevărată.

Propoziţiile de tip A şi E se numesc contrarii şi diferă numai din punct de vedere al calităţii. Ele nu pot fi împreună adevărate, dar pot fi împreună false. Adică:

-          dacă A este adevărată, atunci E este falsă, şi

-          dacă E este adevărată, atunci A este falsă, dar

-          dacă A este falsă, atunci nu putem şti ce valoare de adevăr are E (valoarea de adevăr a lui E este nedeterminată), şi

-          dacă E este falsă, atunci nu putem şti ce valoare de adevăr are A (valoarea de adevăr a lui A este nedeterminată).

Propoziţiile de tip I şi O se numesc subcontrarii şi diferă, de asemenea, numai din punct de vedere al calităţii. Ele nu pot fi împreună false, dar pot fi împreună adevărate, adică:

-          dacă I este falsă, atunci O este adevărată

-          dacă O este falsă, atunci I este adevărată, dar

-          dacă I este adevărată, atunci nu putem şti valoarea de adevăr a lui O (este nedeterminată), şi

-          dacă O este adevărată, atunci nu putem şti valoarea de adevăr a lui I (este nedeterminată).

Cu alte cuvinte, adevărul unei subcontrare nu poate stabili valoarea de adevăr a celeilalte.

      Relaţiile pe verticală dintre propoziţiile de tip A şi I, şi dintre E şi O sunt relaţii de subalternare, în care:

-          A şi E se numesc supraalterne, iar

-          I şi O se numesc subalterne.

Relaţiile se definesc astfel:

-          dacă o supraalternă este adevărată, atunci subalterna sa este adevărată, dar dacă supraalterna este falsă, atunci valoarea subalternei este nedeterminată

-          dacă subalterna este falsă, atunci supraalterna este falsă, dar dacă subalterna este adevărată, atunci valoarea de adevăr a supraalternei este nedeterminată. 

Exerciţii

I.     Completaţi  următorul table cu adevărat, fals sau nedeterminat în fiecare spaţiu liber:

Dacă A este adevărat, atunci	E este fals	I este adevărat	O este fals
Dacă E este adevărat, atunci	A este ………	I este ………..	O este ……….
Dacă I este adevărat, atunci	A este ………	E este ……….	O este ……….
Dacă O este adevărat, atunci	A este ………	E este ………..	I este ……….
Dacă A este fals, atunci	E este ……….	I este …………	O este ………..
Dacă E este fals, atunci	A este ………	I este ………..	O este ……….
Dacă I este fals, atunci	A este ………	E este ……….	O este ……….
Dacă O este fals, atunci	A este ………	E este ………..	I este ……….

Rezolvare:

Dacă A este adevărat, atunci	E este fals	I este adevărat	O este fals
Dacă E este adevărat, atunci	A este fals	I este fals	O este adevărat
Dacă I este adevărat, atunci	A este nedeterminat	E este fals	O este nedeterminat
Dacă O este adevărat, atunci	A este fals	E este nedeterminat	I este nedeterminat
Dacă A este fals, atunci	E este nedeterminat	I este nedeterminat	O este adevărat
Dacă E este fals, atunci	A este nedeterminat	I este adevărat	O este nedeterminat
Dacă I este fals, atunci	A este fals	E este adevărat	O este adevărat
Dacă O este fals, atunci	A este adevărat	E este fals	I este adevărat

II. Folosind relaţiile din pătratul opoziţiilor, stabiliţi valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii în funcţie de valoarea de adevăr a propoziţiilor date:

1.    Dacă propoziţia

Toate obiceiurile specifice lumii modei sunt rezultate ale spălării creierelor de către firmele comerciale

este adevărată, care este valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii?

a.    Niciun obicei specific lumii modei nu este rezultatul spălării creierelor de către firmele comerciale

b.    Unele obiceiuri specifice lumii modei sunt rezultate ale spălării creierelor de către firmele comerciale

c.    Unele obiceiuri specifice lumii modei nu sunt rezultate ale spălării creierelor de către firmele comerciale.

Rezolvare:

Dacă simbolizăm propoziţia dată astfel:

Toţi O sunt R,

atunci propoziţiile ale căror valori de adevăr trebuie determinate se vor simboliza astfel: a. Niciun O nu este R, b. Unii O sunt R, c. Unii O nu sunt R. Propoziţia dată se află în raport de contrarietate cu „Niciun O nu este R”; subalternare cu Unii O sunt R; contradicţie cu Unii O nu sunt R. Prin urmare, dacă propoziţia Toţi O sunt R este adevărată, atunci: Niciun O nu este R este falsă, Unii O sunt R este adevărată, Unii O nu sunt R este falsă.

2.    Dacă propoziţia

Toate obiceiurile specifice lumii modei sunt rezultate ale spălării creierelor de către firmele comerciale

este falsă, care este valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii?

a.    Niciun obicei specific lumii modei nu este rezultatul spălării creierelor de către firmele comerciale

b.    Unele obiceiuri specifice lumii modei sunt rezultate ale spălării creierelor de către firmele comerciale

c.    Unele obiceiuri specifice lumii modei nu sunt rezultate ale spălării creierelor de către firmele comerciale.

Rezolvare:

Dacă Toţi O sunt R este falsă, atunci Niciun O nu este R are valoarea de adevăr nedeterminată,Unii O sunt R, are valoare nedeterminată, iar Unii O nu sunt R este adevărată.

3.    Dacă propoziţia Unele crime sunt acţiuni justificabile moral este adevărată, care este valoarea de adevăr a propoziţiilor următoare?

a.       Toate crimele sunt acţiuni justificabile moral

b.      Nicio crimă nu este o acţiune justificabilă moral

c.       Unele crime nu sunt acţiuni justificabile moral.

Rezolvare:

Dacă propoziţia dată este simbolozată prin Unii C sunt M, atunci celelalte propoziţii se vor simboliza: a.Toţi C sunt M, b.Niciun C nu este M, şi c.Unii C nu sunt M. Propoziţia dată se află în raport de subalternare cu Toţi C sunt M, contradicţie cu Niciun C nu este M, şi subcontrarietate cu Unii C nu sunt M. Prin urmare, dacă Unii C sunt M este adevărată, atunci Toţi C sunt M are valoare nedeterminată, Niciun C nu este M este falsă, şi Unii C nu sunt M are valoare nedeterminată.

4.    Dacă propoziţia Unele crime sunt acţiuni justificabile moral este falsă, care este valoarea de adevăr a propoziţiilor următoare?

Rezolvare:

Dacă Unii C sunt M este falsă, atunci Toţi C sunt M este falsă, Niciun C nu este M este adevărată, şi Unii C nu sunt M este adevărată.

5.    Dacă propoziţia Nicio operaţiune de organizare a unui flagrant nu este o capcană este adevărată, care este valoarea de adevăr a propoziţiilor:

a.       Toate operaţiunile de organizare a unui flagrant sunt capcane

b.      Unele operaţiuni de organizare a unui flagrant sunt capcane

c.       Unele operaţiuni de organizare a unui flagrant nu sunt capcane.

Rezolvare:

Dacă simbolizăm propoziţia dată prin Niciun F nu este C, atunci celelalte propoziţii se vor simboliza: a. Toţi F sunt C; b. Unii F sunt C; c. Unii F nu sunt C. Dacă Niciun F nu este C este adevărată, atunci Toţi F sunt C este falsă, Unii F sunt C este falsă, iar Unii F nu sunt C este adevărată.

6.      Dacă propoziţia Nicio operaţiune de organizare a unui flagrant nu este o capcană este falsă, care este valoarea de adevăr a propoziţiilor:

a.       Toate operaţiunile de organizare a unui flagrant sunt capcane

b.      Unele operaţiuni de organizare a unui flagrant sunt capcane

c.       Unele operaţiuni de organizare a unui flagrant nu sunt capcane.

Rezolvare:

Dacă simbolizăm propoziţia dată prin Niciun F nu este C, atunci celelalte propoziţii se vor simboliza: a. Toţi F sunt C; b. Unii F sunt C; c. Unii F nu sunt C. Dacă Niciun F nu este C este falsă, atunci Toţi F sunt C, care este contrara sa, are valoare nedeterminată, Unii F sunt C, contradictoria sa, este adevărată, iar Unii F nu sunt C, subalterna sa, are valoare nedeterminată.

7.    Dacă propoziţia Unele comportamente obsesiv-compulsive nu sunt afecţiuni vindecabile este adevărată, atunci care este valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii:

a.     Toate comportamentele obsesiv-compulsive sunt afecţiuni vindecabile

b. Niciun comportament obsesiv-compulsive nu este o afecţiune vindecabilă

c.       Unele comportamente obsesiv-compulsive sunt afecţiuni vindecabile.

Rezolvare:

Dacă simbolizăm propoziţia dată prin Unii C nu sunt V, atunci celelalte propoziţii se simbolizează: a. Toţi C sunt V; b. Niciun C nu este V; c. Unii C sunt V. Dacă Unii C nu sunt V este adevărată, atunci contradictoria sa, Toţi C sunt V, este falsă, supraalterna sa, Niciun C nu este V, are valoare nedeterminată, iar subcontrara sa, Unii C sunt V, are valoare nedeterminată.

8.    Dacă propoziţia Unele comportamente obsesiv-compulsive nu sunt afecţiuni vindecabile este falsă, atunci care este valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii:

a.    Toate comportamentele obsesiv-compulsive sunt afecţiuni vindecabile

b. Niciun comportament obsesiv-compulsive nu este o afecţiune vindecabilă

c.       Unele comportamente obsesiv-compulsive sunt afecţiuni vindecabile.

Rezolvare:

Dacă simbolizăm propoziţia dată prin Unii C nu sunt V, atunci celelalte propoziţii se simbolizează: a. Toţi C sunt V; b. Niciun C nu este V; c. Unii C sunt V. Dacă Unii C nu sunt V este falsă, atunci contradictoria sa, Toţi C sunt V, este adevărată, supraalterna sa, Niciun C nu este V, este falsă, iar subcontrara sa, Unii C sunt V, are adevărată.

III. Folosiţi relaţiile din pătratul opoziţiilor pentru a stabili dacă următoarele argumente sunt valide sau nevalide:

1.

Nicio sculptură a lui Rodin nu este o lucrare plictisitoare

Prin urmare, toate sculpturile lui Rodin sunt lucrări plictisitoare

Rezolvare:

Niciun R nu este L

Toţi R sunt L

Premisa şi concluzia sunt în raport de contrarietate. Prin urmare, dacă una este adevărată cealaltă trebuie să fie falsă. Nu pot fi ambele adevărate. În particular, dacă premisa este adevărată, atunci în mod necesar concluzia nu este adevărată. Ca urmare, argumentul este nevalid.

2.

Este fals că unii crateri lunari sunt formaţiuni vulcanice

Prin urmare, niciun crater lunar nu este o formaţiune vulcanică.

Rezolvare:

Argumentul se poate simboliza astfel:

Este fals că unii C sunt V

Niciun C nu este V

Dacă premisa este adevărată, atunci Unii C sunt V este falsă. Pentru că  Unii C sunt V şi Niciun C nu este V sunt în raport de contradicţie, dacă Unii C sunt V este falsă, atunci concluzia Niciun C nu este V este adevărată. Prin urmare, am arătat că dacă premisa este adevărată concluzia este în mod necesar adevărată. Prin urmare, argumentul este valid.

3.

Toate băuturile de tip martini sunt băuturi periculoase

Prin urmare, este fals că unele băuturi de tip martini nu sunt băuturi periculoase.

Rezolvare:

Argumentul se poate simboliza:

Toţi M sunt P

Este fals că unii M nu sunt P.

Dacă premisa - Toţi M sunt P – este adevărată, atunci Unii M nu sunt P, care este contradictoria sa, este falsă, iar concluzia, Este fals că unii M nu sunt P este adevărată. Prin urmare, argumentul este valid.

4.

Este fals că niciun muzician de jazz nu este originar din New Orleans

Prin urmare, unii muzicieni de jazz nu sunt originari din New Orleans

Rezolvare:

Argumentul poate fi astfel simbolizat:

Este fals că niciun J nu este O

Unii J nu sunt O

Dacă premisa este adevărată, atunci Niciun J nu este O este falsă, iar subalterna sa - Unii J nu sunt O -, care este şi concluzia argumentului, este nedeterminată. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, concluzia nu este în mod necesar adevărată (poate fi falsă). Prin urmare, argumentul este nevalid.

5.

Unii medici rurali sunt lucrători voluntari

Prin urmare, unii medici rurali nu sunt lucrători voluntari

Rezolvare:

Argumentul poate fi simbolozat astfel:

Unii M sunt L

Unii M nu sunt L

Premisa şi concluzia sunt propoziţii subcontrare, prin urmare ele pot avea valori de adevăr diferite. În particular, premisa poate fi adevărată, iar concluzia falsă. Prin urmare, argumentul nu este valid.

6.

Este fals că niciun card de credit nu este un lucru care conţine holograme

Prin urmare, unele carduri de credit sunt lucruri care conţin holograme.

Rezolvare:

Argumentul se poate simboliza:

Este fals că niciun C nu este H

Unii C sunt H

Dacă presupunem premisa adevărată, atunci dacă Este fals că niciun C nu este H este adevărată, atunci Niciun C nu este H este falsă, iar concluzia, care este contradictoria acesteia, este adevărată. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, atunci concluzia este adevărată în mod necesar. Prin urmare, argumentul este valid.

7.

Este fals că unii piloţi acrobaţi nu sunt persoane curajoase

Prin urmare, este fals că unii piloţi acrobaţi sunt persoane curajoase.

Rezolvare:

Argumentul se simbolizează astfel:

Este fals că unii P nu sunt C

Este fals că unii P sunt C.

Dacă premisa este adevărată, atunci Unii P sunt C este falsă, iar subcontrara sa, Unii P sunt C, este adevărată. Prin urmare, concluzia este falsă, iar argumentul este nevalid.

8.

Niciun vampir nu este un bun specialist în pâine cu usturoi

Prin urmare, este fals că unii vampiri sunt specialişti în pâine cu usturoi.

Rezolvare:

Argumentul se simbolizează astfel:

Niciun V nu este U

Este fals că unii V sunt U.

Dacă premisa este adevărată, atunci contradictoria sa Unii V sunt U, este falsă, iar Este fals că unii V sunt U, care este şi concluzia argumentului, este adevărată. Prin urmare, argumentul este valid.

9.       

Unele constelaţii stelare sunt obiecte în formă de spirală

Prin urmare, nicio constelaţie stelară nu este un obiect în formă de spirală.

Rezolvare:

Argumentul se simbolizează:

Unii C sunt O

Niciun C nu este O.

Dacă premisa este adevărată, atunci contradictoria sa, Niciun C nu este O, care este şi concluzia argumentului, este falsă. Prin urmare, argumentul este nevalid.

10.

Este fals că toate nunţile sunt evenimente vesele

Prin urmare, unele nunţi nu sunt evenimente vesele.

Rezolvare:

Argumentul se poate simboliza:

Este fals că toţi N sunt V

Unii N nu sunt V

Dacă premisa este adevărată, atunci Toţi N sunt V este falsă, prin urmare, contradictoria sa, care este şi concluzia argumentului, este adevărată. Prin urmare, argumentul este valid. 

INFERENŢE IMEDIATE

Rezumat

Conversiunea:

-                 Schimbarea poziţiei subiectului şi predicatului

-                 Păstrarea calităţii.

Enunţul dat	Conversa	Valoarea de adevăr
E: Niciun S nu este P	Niciun P nu este S	Aceeaşi valoare de adevăr ca a enunţului dat
I:  Unii S sunt P	Unii P sunt S	Aceeaşi valoare de adevăr ca a enunţului dat
A: Toţi S sunt P	Toţi P sunt S	Valoare de adevăr nedeterminată
	Unii P sunt S (conversiune prin accident)	Dacă A este adevărat, Unii P sunt S este adevărat; dacă A este fals, Unii P sunt S este nedeterminat;
O: Unii S nu sunt P	Unii P nu sunt S	Valoare de adevăr nedeterminată

Obversiunea:

-          Schimbarea calităţii

-          Înlocuirea predicatului cu negaţia sa (termenul complementar)

Enunţul dat	Obversa	Valoarea de adevăr
A: Toţi S sunt P	Niciun S nu este non-P	Aceeaşi valoare de adevăr ca a enunţului dat
E: Niciun S nu este P	Toţi S sunt non-P	Aceeaşi valoare de adevăr ca a enunţului dat
I:  Unii S sunt P	Unii S nu sunt non-P	Aceeaşi valoare de adevăr ca a enunţului dat
O: Unii S nu sunt P	Unii S sunt non-P	Aceeaşi valoare de adevăr ca a enunţului dat

Contrapoziţia:

-          Schimbarea poziţiei subiectului şi predicatului

-          Aceeaşi calitate, aceeaşi cantitate

-          Înlocuirea fiecărui termen cu negaţia sa (termenul complementar).

Enunţul dat	Contrapusa	Valoarea de adevăr
A: Toţi S sunt P	Toţi non-P sunt non-S	Aceeaşi valoare de adevăr ca a enunţului dat
O: Unii S nu sunt P	Unii non-P nu sunt non-S	Aceeaşi valoare de adevăr ca a enunţului dat
E: Niciun S nu este P	Niciun non-P nu este non-S	Valoare de adevăr nedeterminată
I:  Unii S sunt P	Unii non-P sunt non-S	Valoare de adevăr nedeterminată

Exerciţii:

IV. În tabelul următor se dă câte un enunţ, valoarea sa de adevăr şi o operaţie care trebuie aplicată acelui enunţ. Stabiliţi enunţul care se obţine şi valoarea de adevăr a acestuia.

Ex.	Enunţul dat	Valoarea de adevăr	Operaţia	Enunţul obţinut		Valoarea de adevăr
1	Nici un A nu este non-B	A	conversiune
2	Unii A nu sunt B	A	contrapoziţie
3	Toţi A sunt non-B	F	obversiune
4	Toţi non-A sunt B	F	contrapoziţie
5	Unii non-A  sunt B	A	conversiune
6	Unii non-A sunt non-B	A	obversiune

Rezolvare:

Ex.	Enunţul dat	Valoarea de adevăr	Operaţia	Enunţul obţinut		Valoarea de adevăr
1	Nici un A nu este non-B	A	conversiune	Nici un non-B nu este A		A
2	Unii A nu sunt B	A	contrapoziţie	Unii non-B nu sunt non-A		A
3	Toţi A sunt non-B	F	obversiune	Nici un A nu este B		F
4	Toţi non-A sunt B	F	contrapoziţie	Toţi non-B sunt A		F
5	Unii non-A  sunt B	A	conversiune	Unii B sunt non-A		A
6	Unii non-A sunt non-B	A	obversiune	Unii non-A nu sunt B		A

V. În tabelul următor se dă câte un enunţ, valoarea sa de adevăr şi un nou enunţ. Stabiliţi cum este stabilit acest nou enunţ şi valoarea lui de adevăr.

Ex.	Enunţul dat	Valoarea de adevăr	Operaţia	Enunţul obţinut	Valoarea de adevăr
1	Nici un non-A nu este non-B	F		Unii B nu sunt A
2	Unii A nu sunt non-B	A		Unii A sunt B
3	Toţi A sunt non-B	F		Toţi B sunt non- A
4	Nici un non-A nu este B	F		Toţi non-A sunt non-B
5	Unii non-A nu sunt B	A		Unii non-B nu sunt A
6	Unii A sunt non-B	F		Unii non-B sunt A

Rezolvare:

Ex.	Enunţul dat	Valoarea de adevăr	Operaţia	Enunţul obţinut	Valoarea de adevăr
1	Nici un non-A nu este non-B	F	contrapoziţie	Unii B nu sunt A	Nedet.
2	Unii A nu sunt non-B	A	obversiune	Unii A sunt B	A
3	Toţi A sunt non-B	F	contrapoziţie	Toţi B sunt non- A	F
4	Nici un non-A nu este B	F	obversiune	Toţi non-A sunt non-B	F
5	Unii non-A nu sunt B	A	contrapoziţie	Unii non-B nu sunt A	A
6	Unii A sunt non-B	F	conversiune	Unii non-B sunt A	F

VI.Convertiţi următoarele propoziţii şi stabiliţi dacă conversa este logic echivalentă sau nu cu propoziţia dată:

a.Toate spaţiile contaminate cu radon (un gaz) sunt cauze potenţiale de cancer pulmonar

b. Nicio operaţie de schimbare de sex nu este o procedură medicală complet reuşită

c. Unele fresce realizate de Diego Rivera sunt lucrări care celebrează spiritul revoluţionar

d. Unele forme ale carbonului nu sunt substanţe cu structură cristalină

Rezolvare:

a.

Toate spaţiile contaminate cu radon (un gaz) sunt cauze potenţiale de cancer pulmonar (c)

Unele cauze potenţiale de cancer pulmonar sunt spaţii contaminate cu radon.

Conversa este nedeterminată în raport cu propoziţia dată.

b.

Nicio operaţie de schimbare de sex nu este o procedură medicală complet reuşită (c)

Nicio procedură medicală complet reuşită nu este o operaţie de schimbare de sex

Conversa este echivalentă logic cu propoziţia dată.

c.

Unele fresce realizate de Diego Rivera sunt lucrări care celebrează spiritul revoluţionar (c)

Unele lucrări care celebrează spiritul revoluţionar sunt fresce realizate de Diego Rivera

Conversa este echivalentă logic cu propoziţia dată.

d.

Unele forme ale carbonului nu sunt substanţe cu structură cristalină (c)

Unele substanţe cu structură cristalină nu sunt forme ale carbonului.

Conversa nu este echivalentă logic cu propoziţia dată pentru că este conversa unei particular negative.

VII. Folosiţi conversiunea, obversiunea şi contrapoziţia pentru a stabili dacă următoarele argumente sunt valide sau nevalide:

1.Toţi comercianţii sunt persoane care sunt supuse riscului unui faliment neprevăzut

   Prin urmare, toate persoanele care sunt supuse riscului unui faliment neprevăzut sunt comercianţi.

Rezolvare:

Argumentul se simbolizează astfel:

Toţi C sunt P

Toţi P sunt C

Concluzia este o conversă cu valoare de adevăr nedeterminată a premisei. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, concluzia nu este în mod necesar adevărată. Prin urmare, argumentul nu este valid.

2. Nicio persoană care abuzează copiii nu este o persoană care lucrează în grădiniţele de copii

    Prin urmare, toate persoanele care abuzează copiii sunt persoane care nu lucrează în grădiniţele de copii.

Rezolvare:

Argumentul se simbolizează astfel:

Niciun A nu este G

Toţi A sunt non-G

Concluzia argumentului este obversa premisei, prin urmare are aceeaşi valoare de adevăr. Ca urmare, dacă premisa este adevărată, atunci şi concluzia este în mod necesar adevărată. Argumentul este valid.

3.Unele state care au puteri limitate nu sunt state sclave

   Prin urmare, unele state libere nu sunt state care au puteri limitate.

Rezolvare:

Argumentul se simbolizează astfel:

Unii P nu sunt S

Unii non-S nu sunt non-P.

Concluzia este contrapusa premisei, adică a unei propoziţii particular negative, care este logic echivalentă cu ea. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, atunci în mod necesar şi concluzia este adevărată, iar argumentul este astfel valid.

4. Unii oameni nebuni sunt oameni incoerenţi

    Prin urmare, unii oameni incoerenţi sunt oameni sănătoşi.

Rezolvare:

Argumentul se simbolizează astfel:

Unii N sunt I

Unii non-I sunt non-N.

Concluzia este contrapusa premisei, care este o propoziţie particular afirmativă. Prin urmare, concluzia are valoare nedeterminată în raport cu premisa. Cu alte cuvinte, dacă vom considera premisa adevărată, concluzia nu este în mod necesar adevărată. Prin urmare, argumentul nu este valid.

4. Unii oameni nebuni sunt oameni incoerenţi

    Prin urmare, unii oameni coerenţi sunt oameni sănătoşi.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

Unii N sunt I

Unii non-I sunt non-N.

Concluzia este contrapusa premisei, care este o propoziţie particular-afirmativă; prin urmare, concluzia are valoare nedeterminată în raport cu premisa. Prin urmare, dacă vom considera premisa adevărată, nu vom şti care este valoarea de adevăr a concluziei. Prin urmare, aceasta nu este în mod necesar adevărată, iar argumentul va fi nevalid.

5. Unele transplanturi de organe nu sunt operaţii uşoare.

    Prin urmare, unele transplanturi de organe sunt operaţii dificile.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

          

Unii T nu sunt U.

Unii T sunt non-U.

Concluzia este obversa premisei, şi deci este echivalentă logic cu ea. Astfel, dacă vom considera premisa adevărată, în mod necesar concluzia va fi şi ea adevărată. Prin urmare, argumentul este valid.

6. Nicio persoană care râde tot timpul nu este o persoană cu simţul umorului.

    Prin urmare, nicio persoană care are simţul umorului nu este o persoană care râde tot  timpul.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

            

Niciun R nu este U.

Niciun U nu este R.

Concluzia este conversa premisei, care este o universal-negativă, şi este logic echivalentă cu aceasta. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, concluzia va fi şi ea în mod necesar adevărată. Astfel, argumentul este valid.

7. Toate perioadele în care dobânzile sunt ridicate sunt perioade în care afacerile tind să nu se dezvolte.

    Prin urmare, toate perioadele în care afacerile tind să se dezvolte sunt perioade în care dobânzile sunt   

   mici.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

Toţi R sunt D.

Toţi non-D sunt non-R.

Concluzia este contrapusa premisei, care este propoziţie universal-afirmativă, şi care este echivalentă logic cu ea. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, şi concluzia va fi în mod necesar adevărată. Astfel, argumentul este valid.

8. Unele costume de baie nu sunt articole realizate pentru înot.

    Prin urmare, unele articole realizate pentru înot nu sunt costume de baie.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

           

Unii C nu sunt I.

Unii I nu sunt C.

Concluzia poate fi considerată o conversă a premisei, care este o particular-negativă. Pentru că valoarea de adevăr a conversei unei particular negative este nedeterminată în raport cu valoarea acesteia, rezultă că dacă premisa este adevărată, valoarea de adevăr a concluziei este nedeterminată, adică nu este în mod necesar adevărată. Prin urmare, argumentul este nevalid. 

9. Nicio promisiune făcută sub constrângere nu este un angajament realizabil.

    Prin urmare, niciun angajament nerealizabil nu este o promisiune făcută în absenţa constrângerii.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

            Niciun C nu este R.

            Niciun non-R nu este non-C.

Concluzia este contrapoziţia premisei, adică contrapusa unei universal-negative, cu care este echivalentă logic. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, atunci în mod necesar, concluzia este adevărată. Prin urmare, argumentul este valid. 

10. Toate persoanele care fumează sunt persoane cu un respect de sine scăzut.

      Prin urmare, nicio persoană care fumează nu este o persoană cu un respect de sine dezvoltat.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

Toţi F sunt R.

Niciun F nu este non-R.

Concluzia argumentului este obversa premisei şi este echivalentă logic cu ea. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, atunci în mod necesar concluzia este adevărată. Prin urmare, argumentul este valid.

11. Unii pictori de graffiti sunt artişti care ajută la deblocarea frustărilor înăbuşite.

      Prin urmare, unii artişti care ajută la deblocarea frustărilor înăbuşite sunt pictori de graffiti.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

Unii G sunt A.

Unii A sunt G.

Concluzia este conversa unei particular-afirmative, şi astfel are aceeaşi valoare de adevăr ca şi aceasta. Prin urmare, dacă premisa este adevărată atunci concluzia este în mod necesar adevărată. Prin urmare, argumentul este valid.

12. Unele revoluţii paşnice sunt episoade care conduc la violenţă.

      Prin urmare, unele episoade care nu conduc la violenţă sunt revoluţii nonpaşnice.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

            Unii P sunt V.

            Unii non-V sunt non-P.

Concluzia este contrapusa premisei, adică a unei propoziţii particular-afirmative. Pentru că contrapusa unei particular afirmative are valoare de adevăr nedeterminată, rezultă că dacă premisa este adevărată, concluzia nu este în mod necesar adevărată. Prin urmare, argumentul este nevalid.

13. Unele companii de asigurări nu sunt organizaţii umanitare.

      Prin urmare, unele organizaţii umanitare nu sunt companii de asigurări.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

            Unii C nu sunt U.

            Unii U nu sunt C.

Concluzia este conversa unei particular-negative, şi astfel valoarea ei de adevăr este nedeterminată. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, nu rezultă în mod necesar adevărul concluziei. Ca urmare, argumentul este nevalid.

14. Unii dragoni care respiră foc sunt reptile cărora nu le prieşte mediul umed.

      Prin urmare, unii dragoni care respiră foc nu sunt reptile care se dezvoltă într-un mediu umed.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

            Unii D sunt non-U.

            Unii D nu sunt U.

Concluzia este obversa premisei, cu care este echivalentă logic. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, atunci concluzia este în mod necesar adevărată. Argumentul este valid.

15. Toţi ucigaşii plătiţi sunt infractori care merită pedepsa cu moartea.

      Prin urmare, toţi infractorii care merită pedeapsa cu moartea sunt ucigaşi plătiţi.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

            Toţi U sunt I.

            Toţi I sunt U.

Concluzia este o conversă a premisei, care este o universală afirmativă. Pentru că o astfel de conversă, a unei universale afirmative, are o valoare de adevăr nedeterminată, rezultă că dacă premisa este adevărată, concluzia nu este în mod necesar adevărată. Ca urmare, argumentul este nevalid.

16. Niciun medicament nepermis nu este un medicament fără efecte secundare.

      Niciun medicament care are efecte secundare nu este un medicament permis.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

            Niciun non-P nu este non-E.

            Niciun E nu este P.

Concluzia este contrapusa premisei. Întrucât contrapusa unei universal-negative are valoare de adevăr nedeterminată în raport cu propoziţia iniţială, rezultă că dacă premisa este considerată adevărată, concluzia nu este în mod necesar adevărată. Prin urmare, argumentul nu este valid.

17. Toţi carburanţii fosili sunt surse de energie neregenerabilă.

     Prin urmare, niciun carburant fosil nu este o sursă de energie regenerabilă.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

            Toţi C sunt non-R.

            Niciun C nu este R.

Concluzia esre obversa premisei, şi este logic echivalentă cu ea. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, atunci concluzia va fi şi ea în mod necesar adevărată. Prin urmare, argumentul este valid.

18. Unele galaxii îndepărtate nu sunt structuri în formă de spirală.

      Prin urmare, unele structuri în formă de spirală nu sunt galaxii îndepărtate.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

            Unii G nu sunt S.

            Unii S nu sunt G.

Concluzia este conversa premisei, adică a unei particulare negative, faţă de care are o valoare de adevăr nedeterminată. Prin urmare, dacă presupunem că premisa este adevărată, concluzia nu este în mod necesar adevărată. Astfel, argumentul este nevalid.

19. Toate experienţele neplăcute sunt lucruri de care nu ne face plăcere să ne amintim.

      Prin urmare, toate lucrurile de care ne place să ne amintim sunt experienţe plăcute.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

            Toţi non-P sunt non-A.

            Toţi A sunt P.

Concluzia este contrapusa unei universale afirmative cu care este echivalentă logic. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, concluzia este în mod necesar adevărată. Prin urmare, argumentul este valid.

20. Unii dintre cei care se opun avortului nu sunt oameni pe care îi interesează binele copiilor

Prin urmare, unii dintre cei care se opun avortului sunt oameni pe care nu îi interesează binele copiilor.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza:

            Unii O nu sunt I.

            Unii O sunt non-I.

Concluzia este obversa premisei, şi astfel este echivalentă logic cu ea. Prin urmare, dacă presupunem că premisa este adevărată, atunci concluzia va fi şi ea în mod necesar adevărată. Prin urmare, argumentul este valid.

VIII. Folosiţi pătratul opoziţiilor sau conversiunea, obversiunea şi contrapoziţia pentru a stabili dacă următoarele argumente sunt sau nu valide:

a.Este fals că unele mişcări specifice jogging-ului nu sunt mişcări aerobice

  Prin urmare, este fals că nicio mişcare specifică jogging-ului nu este o mişcare aerobică.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza astfel:

Este fals că unii J nu sunt A

Este fals că niciun J nu este A.

Dacă premisa este adevărată, atunci Unii J nu sunt A este falsă. Dacă Unii J nu sunt A este falsă, atunci Niciun J nu este A este falsă, ca supraalternă a sa, iar Este fals că niciun J nu este A este adevărată. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, concluzia este adevărată în mod necesar. Prin urmare, argumentul este valid.

b.Niciun vegetarian nu este o persoană cu o dietă bogată în proteine

   Prin urmare, nicio persoană cu o dietă bogată în proteine nu este vegetariană.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza astfel:

Niciun V nu este P

Niciun P nu este V.

Concluzia este conversa premisei, şi este echivalentă logic cu ea. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, atunci concluzia este adevărată. Argumentul este valid.

c. Unele slujbe medicale nu sunt ocupaţii plăcute

   Prin urmare, unele slujbe medicale sunt ocupaţii plăcute.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza astfel:

Unii S nu sunt P

Unii S sunt P.

Premisa şi concluzia sunt în raport de subcontrarietate. Prin urmare, dacă premisa este adevărată, valoarea de adevăr a concluziei este nedeterminată. Ca urmare, dacă premisa este adevărată, concluzia nu este în mod necesar adevărată. Prin urmare, argumentul este nevalid.

d. Unii pacienţi în stare terminală sunt pacienţi care nu vor să mai trăiască

    Prin urmare, unii pacienţi care vor să trăiască sunt pacienţi care sunt pe cale să se însănătoşească.

Rezolvare: Argumentul se poate simboliza astfel:

Unii T sunt non-V

Unii V sunt non-T.

Concluzia este contrapusa premisei, adică a unei propoziţii particular-afirmative, şi are valoarea de adevăr nedeterminată în raport cu ea. Pentru că valoarea de adevăr a concluziei este nedeterminată în raport cu cea a premisei înseamnă că dacă premisa este adevărată, concluzia poate să nu fie adevărată. Prin urmare, argumentul este nevalid. 

Curs Logica generala 13 decembrie

Figuri şi moduri silogistice

Modul unui silogism este dat de tipul de propoziţii pe care le conţine. Spre exemplu silogismul

Toate mamiferele sunt animale

Toate felinele sunt mamifere

Toate felinele sunt animale

care se simbolizează

M a P

S a M

S a P

conţine trei propoziţii universale afirmative (pe care le vom simboliza cu A), deci este un silogism de modul AAA. De asemenea, modul silogismului

Nici o figură geometrică cu patru laturi nu este triunghi

Toate triunghiurile dreptunghice sunt triunghiuri

Nici un triunghi dreptunghic nu are patru laturi

care se simbolizează

P e M

S a  M

S e P

este  EAE.

Figura unui silogism este dată de poziţia termenilor – major, minor şi mediu – în premise. Figurile silogistice sunt:

Figura I M __ P S __ M		Figura II P __ M S __ M		Figura III M __ P M __ S		Figura IV P __ M M __ S
S __ P		S __ P		S __ P		S __ P

Ordinea premiselor este importantă în determinarea modului sau figurii silogismelor. O regulă generală este aceea că predicatul concluziei  - termenul major – trebuie să apară în prima premisă. Un silogism care are premisele astfel ordonate este un silogism în formă standard. Forma unui silogism este combinaţia dintre mod şi figură. Spre exemplu, silogismele prezentate mai sus au formele standard AAA-I şi EAE II. Fiecărei figuri silogistice îi corespund legi speciale de validitate, ceea ce înseamnă că nu toate silogimele dintr-o anumită figură sunt valide, ci doar care respectă aceste legi speciale.

Legile speciale ale figurii I sunt:

I.1. Premisa minoră trebuie să fie afirmativă

Demonstraţie: Presupunem că minora este negativă. Atunci concluzia ar trebui să fie şi ea negativă. Dacă concluzia este negativă, atunci predicatul ar trebui să fie distribuit. Pentru că este distribuit în concluzie, el ar trebui să fie distribuit şi în majoră. În acest caz, şi majora ar trebui să fie negativă, iar silogismul ar avea două premise negative, şi astfel ar fi nevalid. Prin urmare, premisa minoră trebuie să fie afirmativă.

I.2. Premisa majoră trebuie să fie universală

Demonstraţie: Din faptul că minora este afirmativă, ceea ce am demonstrat la I.1, rezultă că predicatul său, ca predicat de afirmativă,  care în acest caz este termenul mediu, este nedistribuit. Pentru că termenul mediu trebuie să fie distribuit cel puţin odată, el va trebui să fie distribuit în majoră. Pentru că acesta este subiect în majoră rezultă că aceasta va fi universală.

Modurile valide de figura I sunt:

Barbara M a P S a M		Celarent M e P S a M		Darii M a P S i M		Ferio M e P S i M
S a P		S e P		S i P		S o P

Barbari M a P S a M		Celaront M e P S a M
S i P		S o P

Legile speciale ale figurii II sunt:

II.1. Una din premise trebuie să fie negativă

Demonstraţie: Presupunem că premisele sunt, ambele, afirmative. În acest caz termenul mediu ar fi, ca predicat de afirmativă, nedistribuit în ambele premise, ceea ce ar face ca silogismele de figura a doua cu premise afirmative să fie nevalide. Prin urmare, o premisă trebuie să fie negativă.

II.2. Premisa majoră trebuie să fie universală

Demonstraţie: Din faptul că o premisă este negativă rezultă că concluzia este, la rândul ei, negativă, şi astfel va avea predicatul distribuit. Pentru că predicatul este distribuit în concluzie, el va trebui să fie distribuit şi în premisa majoră, ceea ce va face ca aceasta să fie universală.

Modurile valide de figura II vor fi: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesari, Camestrop

Legile speciale ale figurii III sunt:

III.1. Premisa minoră trebuie să fie afirmativă

Demonstraţie: Presupunem că minora este negativă. În acest caz şi concluzia va trebui să fie negativă, şi astfel predicatul va fi distribuit. Fiind distribuit în concluzie, el va trebui să fie distribuit şi în premisa majoră, ceea ce va face ca aceasta să fie negativă. Vom avea astfel ambele premise negative, şi deci silogismele de figura a treia ar fi nevalide. Prin urmare, premisa minoră va trebui să fie afirmativă.

III.2. Concluzia trebuie să fie particulară

Demonstraţie: Dacă premisa minoră este afirmativă, atunci prediactul său va fi nedistribuit. Acesta este subiectul concluziei, care va trebui să apară nedistribuit şi în concluzie, ceea ce va face ca aceasta să fie particulară. Modurile valide de figura III vor fi: Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison.

Legile speciale ale figurii IV sunt:

IV.1. Dacă premisa majoră este afirmativă, atunci minora este universală

Demonstraţie: Dacă premisa majoră este afirmativă, atunci termenul mediu va fi nedistribuit în majoră. Pentru ca acesta să fie distribuit în minoră va trebui ca aceasta să fie universală.

IV.2. Dacă una din premise este negativă, majora trebuie să fie universală

Demonstraţie: Dacă una din premise este negativă, concluzia va fi şi ea negativă. Şi astfel, predicatul va fi distribuit în concluzie. El va trebui să fie distribuit şi în premisa majoră, unde este subiect. Prin urmare, majora va trebui să fie universală. Modurile valide de figura IV vor fi: Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison, Camenop.

Reducerea silogismelor

Silogismele din figurile II, III şi IV pot fi reduse la silogisme de figura I, considerată de Aristotel figura perfectă, celelalte fiind imperfecte. Reducerea se poate face direct sau indirect.

Reducerea directă se face prin conversiune şi transpoziţia (schimbarea locului) premiselor. Tipul de operaţie este sugerat de numele modurilor. Astfel: (i) consoanele iniţiale – B, C, D, F – indică modul de figura I la care se reduce un silogism din alte figuri; (ii) consoanele care urmează după vocalele a, e, i, o – care simbolizează tipurile de propoziţii categorice – indică operaţia care se aplică premisei date, astfel: S pentru conversiunea simplă, P pentru conversiunea prin accident, M pentru transpoziţia (schimbarea locului) premiselor, C pentru reducerea indirectă.

Reducerea directă nu se poate aplica tuturor modurilor silogistice. Ea nu se aplică la modurile cu o premisă particulară negativă. Aceste moduri pot fi reduse prin obversiune şi contrapoziţie. Dar pot fi reduce şi prin reducere la absurd. De exemplu, modul Bocardo

 M o P

M a S

S o P

se poate reduce indirect la Barbara. În felul urmator: (i) Presupunem modul silogistic Bocardo nevalid. Astfel, considerăm premisele lui adevărate, iar concluzia, falsă. Dacă din această presupoziţie ajungem la o contradicţie, atunci rezultă că modul Bocardo este valid. Din faptul că concluzia – SoP - este falsă rezultă că contradictoria sa – SaP este adevărată. (ii) Dacă înlocuim MoP cu SaP vom obţine modul valid Barbara

SaP

MaS

MaP

(iii)  Pentru că SaP este adevărată, MaS este adevărată, iar silogismul este valid, rezultă că MaP este adevărată. (iv) Dar, am presupus că premisele sunt adevărate, deci MoP este adevărată. Dacă MoP este adevărată, atunci ar trebui ca MaP să fie falsă. Dar, din 4 rezultă MaP este adevărată. (v) Prin urmare, am ajuns la o contradicţie, şi astfel, presupoziţia iniţială – că modul silogistic Bocardo este nevalid este falsă. Prin urmare, Bocardo este valid.