Curs logica generala 8-15 noiembrie

RELAȚII LOGICE ÎNTRE PROPOZIȚIILE CATEGORICE. PĂTRATUL OPOZIŢIILOR

Două propoziţii categorice care au acelaşi subiect şi acelaşi predicat pot să difere:

-          din punct de vedere al cantităţii

-          din punct de vedere al calităţii

-          atât din punct de vedere al cantităţii, cât şi din punct de vedere al calităţii.

Relaţiile dintre propoziţii categorice care au acelaşi subiect şi acelaşi predicat pot fi reprezentate astfel:

A Toţi S sunt P SaP		Contrarietate	E Nici un S nu este P SeP
Subalternare		Contradicţie	Subalternare
SiP Unii S sunt P I		Subcontrarietate	SoP Unii S nu sunt P O

 Propoziţiile care se opun pe diagonală – cele de tip A şi O, respectiv, E şi I – se numesc contradictorii şi diferă atât din punct de vedere cantitativ cât şi calitativ. A spune că sunt contradictorii înseamnă că:

Ø  dacă A este adevărată, atunci O este falsă

Ø  dacă A este falsă, atunci O este adevărată

Ø  dacă O este adevărată, atunci A este falsă

Ø  dacă O este falsă, atunci A este adevărată

respectiv,

Ø  dacă E este adevărată, atunci I este falsă

Ø  dacă E este falsă, atunci I este adevărată

Ø  dacă I este adevărată, atunci E este falsă

Ø  dacă I este falsă, atunci E este adevărată.

            Propoziţiile de tip A şi E se numesc contrarii şi diferă numai din punct de vedere al calităţii. Ele nu pot fi împreună adevărate, dar pot fi împreună false. Adică:

Ø  dacă A este adevărată, atunci E este falsă, şi

Ø  dacă E este adevărată, atunci A este falsă, dar

Ø  dacă A este falsă, atunci nu putem şti ce valoare de adevăr are E (valoarea de adevăr a lui E este nedeterminată), şi

Ø  dacă E este falsă, atunci nu putem şti ce valoare de adevăr are A (valoarea de adevăr a lui A este nedeterminată).

      Propoziţiile de tip I şi O se numesc subcontrarii şi diferă, de asemenea, numai din punct de vedere al calităţii. Ele nu pot fi împreună false, dar pot fi împreună adevărate, adică:

Ø  dacă I este falsă, atunci O este adevărată

Ø  dacă O este falsă, atunci I este adevărată, dar

Ø  dacă I este adevărată, atunci nu putem şti valoarea de adevăr a lui O (este nedeterminată), şi

Ø  dacă O este adevărată, atunci nu putem şti valoarea de adevăr a lui I (este nedeterminată).

Cu alte cuvinte, adevărul unei subcontrare nu poate stabili valoarea de adevăr a celeilalte.

      Relaţiile pe verticală dintre propoziţiile de tip A şi I, şi dintre E şi O sunt relaţii de subalternare, în care:

Ø  A şi E se numesc supraalterne, iar

Ø  I şi O se numesc subalterne.

Relaţiile se definesc astfel:

Ø  dacă o supraalternă este adevărată, atunci subalterna sa este adevărată, dar dacă supraalterna este falsă, atunci valoarea subalternei este nedeterminată

Ø  dacă subalterna este falsă, atunci supraalterna este falsă, dar dacă subalterna este adevărată, atunci valoarea de adevăr a supraalternei este nedeterminată. 

Dat fiind adevărul unei propoziţii categorice, uneori este posibil să determinăm valoarea de adevăr a celorlalte propoziţii categorice. De exemplu:

Ø  dacă A este adevărată, atunci E va fi falsă, O va fi falsă, iar I va fi adevărată.

Uneori însă adevărul unei propoziţii categorice nu ne spune prea mult în privinţa valorilor de adevăr a altor propoziţii categorice. De exemplu,

Ø  dacă A este falsă, valoarea lui E este nedeterminată, ca şi aceea a lui I.

Distribuirea termenilor în propoziţiile categorice

Un termen este distribuit într-o propoziţie categorică dacă propoziţia are în vedere întreaga clasă la care se referă termenul.

Un termen este nedistribuit dacă propoziţia are în vedere doar unii membri ai clasei la care se referă termenul, sau doar o parte a acesteia.

În propoziţiile de tip A – Toţi S sunt P – termenul S este distribuit, iar P este nedistribuit, pentru că cuantificatorul „toţi” se aplică lui S.

În propoziţiile de tip E – Nici un S nu este P -  sunt distribuiţi atât S cât şi P, pentru că atât S cât şi P sunt vizaţi în totalitatea clasei la care se referă. Altfel spus, propoziţia ne spune că nici un element al clasei la care se referă S nu se află printre membrii clasei la care se referă P, şi, de asemenea, că elementele clasei la care se referă P sunt, toate, diferite de elementele clasei la care se referă S.

În propoziţiile de tip I – Unii S sunt P – ambii termeni sunt nedistribuiţi pentru că nu se afirmă nimic despre toţi S sautoţi P.

În propoziţiile de tip O – Unii S nu sunt P – S este nedistribuit, iar P este distribuit, pentru că ni se spune că unii S nu se află printre membrii clasei la care se referă P. Astfel, vom avea:

Tip propoziţie	Subiect	Predicat
A: Toţi S sunt P	Distribuit (+)	Nedistribuit (-)
E: Nici un S nu este P	Distribuit (+)	Distribuit (+)
I: Unii S sunt P	Nedistribuit (-)	Neditribuit (-)
O: Unii S nu sunt P	Nedistribuit (-)	Distribuit (+)

Sau, mai simplu

Tip propoziţie	Subiect	Predicat
A	+	-
E	+	+
I	-	-
O	-	+

Inferenţe imediate. Conversiunea şi obversiunea

Inferenţele din pătratul logic al opoziţiilor nu sunt singurele inferenţe posibile în logica tradiţională. Mai avem, de asemenea, conversiunea şi obversiunea.

Conversiunea

Este inferenţa prin care dintr-o propoziţie categorică numită convertendă inferăm o altă propoziţie categorică – conversă - în care termenii - subiectul şi predicatul – sunt inversaţi, adică îşi schimbă locul.

Nu toate conversiunile sunt inferenţe valide. Spre exemplu, propoziţiile de tip E şi I se converstesc, dar cele de tip A şi O nu se convertesc. De exemplu, din propoziţia:

Nici un extremist nu este democrat

putem infera în mod valid propoziţia

Nici un democrat nu este extremist.

Iar din propoziţia

Unii extremişti sunt democraţi

putem infera în mod valid propoziţia

Unii democraţi sunt extremişti.

Dar, din propoziţia

Toţi extremiştii sunt democraţi

nu putem infera în mod valid propoziţia

Toţi democraţii sunt extremişti.

Iar din propoziţia

Unii extremişti nu sunt democraţi

nu putem obţine în mod valid propoziţia

Unii democraţi nu sunt extremişti.

Un motiv pentru care nu putem infera în mod valid prin conversiune propoziţia

Toţi P sunt S

din propoziţia

Toţi S sunt P

şi propoziţia

Unii P nu sunt S

din propoziţia

Unii S nu sunt P

este legat de distribuirea termenilor. Pentru fiecare inferenţă există un termen nedistribuit în premisă care apare distribuit în concluzie.

În cazul unei inferenţe valide, dacă un termen apare distribuit în concluzie, el trebuie să apară distribuit şi în premisă, iar dacă apare nedistribuit în premisă trebuie să apară nedistribuit şi în concluzie. În cazul nostru, pentru propoziţia de tip A – Toţi S sunt P - care este premisă, P este nedistribuit, iar în concluzie, Toţi P sunt S, P este distribuit. Prin urmare, inferenţa este nevalidă.

De asemenea, în propoziţia de tip O – Unii S nu sunt P – care este şi premisă, S este nedistribuit, iar în concluzie – propoziţia Unii P nu sunt S -, S este distribuit. Prin urmare, inferenţa este nevalidă.

Din propoziţia de tip A – Toţi S sunt P - se poate obţine prin conversiune prin accident sau prin limitare propoziţia de tip I cu termenii inversaţi: Unii P sunt S. În rezumat, vom avea pentru conversiune:

Convertendă	Conversă
A: Toţi S sunt P	Unii P sunt S
E:  Nici un S nu este P	Nici un P nu este S
I:  Unii S sunt P	Unii P sunt S
O: Unii S nu sunt P	Nu se converteşte

Obversiunea

Este inferenţa prin care dintr-o propoziţie categorică – obvertendă - obţinem o propoziţie categorică – obversa - de calitate opusă în care predicatul este înlocuit cu negaţia sa. Adică din P obţinem non-P, dintr-o propoziţie afirmativă vom obţine o propoziţie negativă, iar dintr-o propoziţie negativă vom obţine o propoziţie afirmativă.

Vom avea:

Obvertendă	Obversă
A: Toţi S sunt P	Nici un S nu este non-P
E: Nici un S nu este P	Toţi S sunt non-P
I: Unii S sunt P	Unii S nu sunt non-P
O: Unii S nu sunt P	Unii S sunt non-P

Inferenţe imediate combinate

Conversiunea şi obversiunea pot fi combinate pentru a obţine alte inferenţe. De exemplu, contrapoziţia constă din obvertirea, convertirea şi apoi obvertirea unei propoziţii categorice. Propoziţia iniţială se numeşte contraponendă, iar cea obţinută se numeşte contrapusă. Spre exemplu, dintr-o propoziţie de tip A,

Toţi S sunt P

obţinem prin obversiune propoziţia

Nici un S nu este non-P.

Iar din această propoziţie prin conversiune obţinem propoziţia

Nici un non-P nu este S,

a cărei obversă este

Toţi non-P sunt non-S.

Astfel, din propoziţia

Toţi S sunt P

am obţinut propoziţia:

Toţi non-P sunt non-S.

Din propoziţia de tip E

Nici un S nu este P

vom obţine prin obversiune

Toţi S sunt non-P.

Aplicând conversiunea vom avea:

Unii non-P sunt S,

şi apoi prin obversiune vom avea

Unii non-P nu sunt non-S.

Pentru că propoziţiile de tipul O – Unii S nu sunt P – nu se convertesc, propoziţiile de tip I – Unii S sunt P - nu au contrapuse.

Dar propoziţiile de tipul O – Unii S nu sunt P – au contrapuse. Din propoziţia

Unii S nu sunt P

vom obţine prin obversiune

Unii S sunt non-P.

Apoi, prin conversiune:

Unii non-P sunt S,

iar prin obversiune

Unii non-P nu sunt non-S.

Astfel, din propoziţii de tipul

Unii S nu sunt P

obţinem propopoziţii de tipul

Unii non-P nu sunt non-S.

În rezumat:

Contraponendă	Contrapusă
A: Toţi S sunt P	Toţi non-P sunt non-S
E: Nici un S nu este P	Unii non-P nu sunt non-S
I: Unii S sunt P	Nu are contrapusă
O: Unii S nu sunt P	Unii non-P nu sunt non-S

 Alte combinaţii inferenţiale

Conversiunea, obversiunea şi contrapoziţia pot fi combinate cu inferenţe din pătratul opoziţiilor obţinând mai multe informaţii decât ne pot oferi acestea. Spre exemplu, să presupunem că propoziţia

Toţi S sunt P

este adevărată şi vrem să obţinem, prin inferenţă, valoarea propoziţiei

Unii non-P sunt non-S.

Din faptul că

Toţi S sunt P

este adevărată, rezultă că contrapusa sa, adică

Toţi non-P sunt non-S

este, de asemenea, adevărată.

Dacă

Toţi non-P sunt non-S

este adevărată, atunci şi subalterna sa, adică

Unii non-P sunt non-S

este adevărată. Prin urmare, valoarea de adevăr a propoziţiei

Unii non-P sunt non-S

este adevărat, dat fiind adevărul propoziţiei Toţi S sunt P.

Silogismele categorice

Silogismele categorice sunt argumente care conţin trei propoziţii categorice, dintre care două sunt premise, iar una, concluzie. Un silogism categoric conţine trei termeni, fiecare având două apariţii, dar nu în aceeaşi propoziţie. Silogismul:

Toate felinele sunt carnivore

Toţi tigrii sunt feline

Toţi tigrii sunt carnivori

conţine următorii trei termeni: „feline”, „carnivore” şi „tigri”. Termenul care apare de două ori la nivelul premiselor se numeşte termen mediu (în exemplul dat, „feline”). Termenul care este predicat în concluzie se numeşte termen major sau simplu, major. În exemplul nostru termenul major este „carnivore”. În forma standard a unui silogism categoric, premisa care conţine termenul major se numeşte premisă majoră, sau majoră. În exemplul nostru, premisa majoră este „Toate felinele sunt carnivore”. Termenul care este subiect în concluzie se numeşte termen minor, sau simplu, minor, iar premisa în care apare acesta se numeşte premisa minoră, sau minoră. În exemplul nostru termenul minor este „tigri”, iar premisa minoră este „Toţi tigrii sunt feline”. 

Regulile tradiţionale ale validităţii silogismelor categorice

Se consideră valide numai acele silogisme care respectă următoarele şase reguli, grupate în felul următor:

Reguli de definiţie

1. Orice silogism trebuie să conţină trei şi numai trei propoziţii categorice
2. Orice silogism categoric trebuie să conţină trei şi numai trei termeni; fiecare termen trebuie să apară de două ori, dar nu în aceeaşi propoziţie

Reguli ale cantităţii

3. Termenul mediu trebuie să fie distribuit cel puţin odată
4. Dacă un termen este distribuit în concluzie, atunci el trebuie să apară distribuit şi la nivelul premiselor; dacă un termen apare nedistribuit la nivelul premiselor, atunci el va trebui să apară nedistribuit şi în concluzie.

Reguli ale calităţii

5. Dacă concluzia este negativă, o premisă şi numai una trebuie să fie negativă
6. Dacă concluzia este afirmativă, atunci ambele premise trebuie să fie afirmative.

Orice argument care nu respectă una sau mai multe dintre aceste reguli fie nu este silogism, fie nu este un argument valid.

Erori silogistice

Eroarea celor patru termeni

Este comisă atunci când se încalcă regula 2: Orice silogism categoric trebuie să conţină trei şi numai trei termeni; fiecare termen trebuie să apară de două ori, dar nu în aceeaşi propoziţie

Exemplu		Contraexemplu
Toţi câinii sunt animale		Toţi lupii sunt carnivori
Toate pisicile sunt mamifere		Toate pisicile sunt feline
Toţi câinii sunt mamifere		Toţi lupii sunt feline

Eroarea termenului mediu ambiguu (un tip de eroare a celor patru termeni)

Exemplu		Contraexemplu
Toţi fetuşii umani sunt oameni		Toate organele de câine sunt canine
Toţi oamenii au dreptul la viaţă		Toate caninele trebuie ţinute în lesă
Toţi fetuşii umani au dreptul la viaţă		Toate organele de câine trebuie ţinute în lesă

Eroarea termenului mediu nedistribuit

Este produsă prin încălcarea regulii 3: Termenul mediu trebuie să fie distribuit cel puţin odată

Exemplu		Contraexemplu
Toate argumentele care au termenul mediu nedistribuit în ambele premise sunt argumente nevalide		Toate pisicile sunt mamifere
Acest argument este un argument nevalid		Acest câine este mamifer
Acest argument are termenul mediu nedistribuit în ambele premise		Acest câine este pisică

Eroarea majorului ilicit sau extinderea majorului

Este comisă atunci când termenul major este distribuit în concluzie, dar nu este distribuit în premisa în care apare, adică atunic când este încălcată regula 4.

Exemplu		Contraexemplu
Toţi comuniştii sunt de stânga		Toate felinele sunt mamifere
Nici un conservator nu este comunist		Nici un lup nu este felină
Nici un conservator nu este de stânga		Nici un lup nu este mamifer

Eroarea minorului ilicit sau extinderea minorului

Este comisă atunci când termenul apare distribuit în concluzie, dar nedistribuit în premisă, adică atunci când este încălcată regula 4.

Exemplu		Contraexemplu
Toţi teroriştii sunt extremişti		Toate pumele sunt feline
Toţi extremiştii sunt radicali		Toate felinele sunt mamifere
Toţi radicalii sunt terorişti		Toate mamiferele sunt pume

Eroarea excluderii ilicite

Este produsă de încălcarea regulii 5: Dacă concluzia este negativă, o premisă şi numai una trebuie să fie negativă

Exemplu		Contraexemplu
Nici un musulman nu este creştin		Nici un peşte nu este mamifer
Nici un evreu nu este musulman		Nici o pisică nu este peşte
Nici un evreu nu este creştin		Nici o pisică nu este mamifer

Eroarea includerii ilicite

Este comisă atunci când se încalcă regula 6: Dacă concluzia este afirmativă, atunci ambele premise trebuie să fie afirmative.

Exemplu		Contraexemplu
Toate argumentele concludente sunt valide		Toate animalele fioroase sunt mamifere
Unele argumente eronate nu sunt concludente		Unii dinozauri nu sunt animale fioroase
Unele argumente eronate sunt valide		Unii dinozauri sunt mamifere

Alte exemple:

Toţi filosofii contemporani ar trebui să fie la curent cu teoriile recente din logica simbolică

Platon şi Parmenide au fost filosofi contemporani

Platon şi Parmenide ar trebui să fie la curent cu teoriile recente din logica simbolică

Pentru că acest silogism conţine trei şi numai trei propoziţii, el satisface regula 1. Totuşi, el încalcă regula 2 pentru că, deşi el pare că are trei şi numai trei termeni, expresia „filosofi contemporani” nu are acelaşi înţeles şi aceeaşi semnificaţie în ambele sale apariţii. În premisa majoră expresia „filosofi contemporani” are înţelesul „filosofi care trăiesc în această perioadă de timp”, în timp ce în premisa minoră, are înţelesul „filosofi care trăiesc în aceeaşi perioadă de timp”. Prin urmare, argumentul conţine patru termeni şi nu este un silogism categoric. Unii logicieni preferă să spună că este un silogism categoric, dar este nevalid pentru că el comite eroarea celor patru termeni.

Un alt exemplu:

Nici un om de zăpadă nu este introvertit

Unii introvertiţi sunt timizi

Unii oameni de zăpadă nu sunt timizi

Acest silogism conţine trei şi numai trei propoziţii categorice, şi conţine trei şi numai trei termeni. Fiecare apare de două ori, şi nu în aceeaşi propoziţie. Astfel, acest silogism respectă primele două reguli. Pentru că termenul mediu „introvertit”, este distribuit în prima premisă, argumentul satisface, de asemenea, şi cea de-a treia regulă. Totuşi, predicatul „timid” este distribuit în concluzie, dar nu este distribuit în premisa în care apare, prin urmare încalcă regula a patra.

Exemplu de silogism valid:

Nici un om de zăpadă nu este introvertit

Unii introvertiţi sunt timizi

Unele persoane timide nu sunt oameni de zăpadă

Acest silogism satisface primele două reguli. Pentru că termenul mediu „introvertit” este distribuit în prima premisă, el respectă şi cea de a treia regulă. Singurul termen distribuit în concluzie este „om de zăpadă”, şi el este distribuit şi în prima premisă, prin urmare argumentul respectă şi cea de a patra regulă. Concluzia este negativă, dar silogismul conţine una şi numai o premisă negativă, prin urmare argumentul satisface şi regula a cincea. Apoi, întrucât concluzia este negativă, regula a şasea nu se aplică acestui argument, şi astfel, el este un silogism valid.

Silogisme care conţin clase complementare

Silogismele care conţin clase complementare par adesea că sunt nevalide potrivit regulilor tradiţionale ale silogismului, deşi ele sunt valide. Silogismul:

Toţi oamenii orgolioşi sunt egoişti

Nici un actor nu este neorgolios

Toţi actorii sunt egoişti

pare nevalid, pentru că încalcă regula potrivit căreia un silogism trebuie să conţină trei şi numai trei termeni şi regula potrivit căreia dacă concluzia este afirmativă, atunci ambele premise trebuie să fie afirmative.

Dar dacă vom aplica obversiunea celei de a doua premise vom obţine propoziţia echivalentă:

Toţi actorii sunt orgolioşi

şi vom reformula silogismul, atunci vom avea:

Toţi oamenii orgolioşi sunt egoişti

Toţi actorii sunt orgolioşi

Toţi actorii sunt egoişti

care respectă regulile tradiţionale de validitate.

Silogismul mai poate fi reformulat şi altfel. Spre exemplu, dacă vom înlocui a doua premisă cu contrapoziţia sa, şi concluzia cu obversa sa, vom avea:

Toţi oamenii non-egoişti sunt non-orgolioşi

Nici un actor nu este non-orgolios

Nici un actor nu este non-egoist

Acest silogism respectă, de asemenea, toate regulile tradiţionale de validitate, şi este, astfel, valid.

În general, un silogism care conţine patru termeni poate fi reformulat astfel încât să conţină numai trei termeni, cu condiţia ca unul din cei patru termeni să fie complementar cu unul dintre ceilalţi termeni. Un silogism care conţine cinci termeni poate fi reformulat astfel încât să conţină numai trei termeni, cu condiţia ca doi termeni să fie complementari cu alţi doi. Un silogism care conţine şase termeni poate fi reformulat astfel încât să conţină trei termeni, cu condiţia ca trei termeni să fie complementari în raport cu ceilalţi trei.

Spre exemplu, fie următorul silogism care conţine şase termeni, trei dintre ei fiind complementari în raport cu ceilalţi:

Toate alimentele care sunt grase sunt alimente care nu conţin amidon

Nici un element bogat în proteine nu este un aliment gras

Toate alimentele care conţin amidon sunt alimente care nu sunt bogate în proteine

Dacă înlocuim prima premisă a acestui argument cu contrapoziţia sa, iar concluzia cu obversa sa, vom obţine silogismul valid:

Toate alimentele care conţin amidon sunt grase

Nici un aliment bogat în proteine nu este gras

Nici un aliment care conţine amidon nu este bogat în proteine.